Форум Новой Физики

В данной работе исследованы подробности излучения элементарного электрического и магнитного диполя на расстояниях, больших по сравнению с размерами излучающего элемента. Сделаны дискуссионные выводы.

Формулы приводятся в цилиндрической системе координат (ρ,φ,z)
r² = ρ² + z²
Учитывая это, возможна разная запись выражений для ρ и z Например, 2 - 3 • ρ² / r² = 3 • z² / r² - 1
Для всех величин ∂/∂φ = 0 (цилиндрическая симметрия)
Производные по времени обозначаются штрихом '

Электрический элементарный диполь

Заряд колеблется вдоль оси z возле нулевой точки с частотой ω, амплитуда дипольного момента P0.

Дипольный момент:
Pz = P0 • cos(ω•t)

Вспомогательные функции:
COS = cos(ω•(t - r/c)), SIN = sin(ω•(t - r/c))

Скалярный потенциал:
a = P0 / (4•π•ε0) • z / r² • (1 / r • COS - ω/c • SIN)
a' = - P0 / (4•π•ε0) • ω • z / r² • (ω/c • COS + 1 / r • SIN)

Векторный потенциал:
Az = - P0 • μ0/(4•π) • ω / r • SIN
Az' = - P0 • μ0/(4•π) • ω² / r • COS
div A = ∂Az/∂z = P0 • μ0/(4•π) • ω • z / r² • (ω/c • COS + 1 / r • SIN)
a' = - c2 • div A

Градиент скалярного потенциала:
∂a/∂ρ = P0 / (4•π•ε0) • ρ • z / r³• ((ω²/c² - 3 / r²) • COS + ω/c • 3 / r • SIN)
∂a/∂z = P0 / (4•π•ε0) / r² • (1 / r • (ω²/c² • z² + 1 - 3 • z² / r²) • COS + ω/c • (3 • z² / r² - 1) • SIN)

Магнитная индукция:
Bφ = - ∂Az/∂ρ = - P0 • μ0/(4•π) • ω • ρ / r² • (ω/c • COS + 1 / r • SIN)
Bφ' = - P0 • μ0/(4•π) • ω² • ρ / r² • (1 / r • COS - ω/c • SIN)

Электрическая напряжённость:
Eρ = - ∂a/∂ρ = - P0 / (4•π•ε0) • ρ • z / r³ • ((ω²/c² - 3 / r²) • COS + ω/c • 3 / r • SIN)
Ez = - Az' - ∂a/∂z = P0 / (4•π•ε0) / r² • ((ω²/c² • ρ² / r - 1 / r + 3 • z² / r³) • COS + ω/c • (1 - 3 • z² / r²) • SIN)

Кольцевой ротор электрической напряжённости:
∂Eρ/∂z - ∂Ez/∂ρ = P0 / (4•π•ε0) • ω²/c² • ρ / r² • (1 / r • COS - ω/c • SIN)

Bφ' = - (∂Eρ/∂z - ∂Ez/∂ρ)
как и должно быть в уравнениях электромагнитного поля.

div E = ∂Eρ/∂ρ + Eρ / ρ + ∂Ez/∂z = 0 (проверено)

Ток смещения:
Jρ = - 1/μ0 • ∂Bφ/∂z = - P0 / (4•π) • ω • ρ • z / r³ • (ω/c • 3 / r • COS - (ω²/c² - 3 / r²) • SIN)
Jz = 1 / μ0 • (∂Bφ/∂ρ + Bφ / ρ) = P0 / (4•π) • ω / r² • (ω/c • (1 - 3 • z² / r²) • COS - (ω²/c² • ρ² / r - 1 / r + 3 • z² / r³) • SIN)

Eρ' = - P0 / (4•π•ε0) • ω • ρ • z / r³ • (ω/c • 3 / r • COS - (ω²/c² - 3 / r²) • SIN) = Jρ/ε0
Ez' = P0 / (4•π•ε0) • ω / r² • (ω/c • (1 - 3 • z² / r²) • COS - (ω²/c² • ρ² / r - 1 / r + 3 • z² / r³) • SIN) = Jz/ε0
как и должно быть в уравнениях электромагнитного поля.

Магнитный диполь

Кольцевой ток с малым радиусом R меняет направление по периодическому закону.

Магнитный момент направлен вдоль оси z:
Mz = M0 • cos(ω•t), где M0 = π • R² • I0, I0 амплитуда тока.

Вспомогательные функции:
COS = cos(ω•(t - r/c)), SIN = sin(ω•(t - r/c))

Векторный потенциал:
Aφ = M0 • μ0/(4•π) • ρ / r² • (1 / r • COS - ω/c • SIN)

Электрическая напряжённость:
Eφ = - Aφ' = M0 • μ0/(4•π) • ω • ρ / r² • (ω/c • COS + 1 / r • SIN)
Eφ' = M0 • μ0/(4•π) • ω² • ρ / r² • (1 / r • COS - ω/c • SIN)

Магнитная индукция:
Bρ = - ∂Aφ/∂z = - M0 • μ0/(4•π) • ρ • z / r³ • ((ω²/c² - 3 / r²) • COS + ω/c • 3 / r • SIN)
Bz = ∂Aφ/∂ρ + Aφ / ρ = M0 • μ0/(4•π) / r² • ((ω²/c² • ρ² / r + 2 / r - 3 • ρ² / r³) • COS - ω/c • (2 - 3 • ρ² / r²) • SIN)

Bρ' = - M0 • μ0/(4•π) • ω • ρ • z / r³ • (ω/c • 3 / r • COS - (ω²/c² - 3 / r²) • SIN) = - (- ∂Eφ/∂z)
Bz' = - M0 • μ0/(4•π) • ω / r² • (ω/c • (2 - 3 • ρ² / r2) • COS + (ω²/c² • ρ² / r + 2 / r - 3 • ρ² / r³) • SIN) = - (∂Eφ/∂ρ + Eφ / ρ)
как и должно быть в уравнениях электромагнитного поля.

Ток смещения:
Jφ = 1/μ0 • (∂Bρ/∂z - ∂Bz/∂ρ) = M0 • μ0/(4•π) • ω²/c² • ρ / r² • (1 / r • COS - ω/c • SIN)

Eφ' = Jφ/ε0 (проверено)
как и должно быть в уравнениях электромагнитного поля.

Выводы

Хотя дивергенция электрического поля div E везде равна нулю (плотность заряда нулевая), для описания излучения электрического диполя насущно необходим скалярный потенциал a. Для выражения производной по времени a' необходим векторный потенциал A. На дальних расстояниях нет речи о запаздывающих потенциалах принудительно колеблющейся системы, волны должны распространяться «самостоятельно» в волновой зоне. Напрашивается вывод, что потенциалы это объективная физическая реальность, фундаментальные поля в вакууме, а не математические абстракции. Для описания дипольного излучения достаточно трёх фундаментальных полей:

a' = - c² • div A
A' = - E - grad a
E' = c² • rot rot A

При этом лапласиан div grad (a) принципиально отличается от локальной плотности заряда ε0 • div E, это разные величины. Лапласиан скалярного потенциала в излучении электрического диполя может быть локально не равен нулю, в отличие от дивергенции электрического поля. Формально обе эти величины «сохраняются», так как можно выразить производные по времени как минус дивергенцию некоторого известного «потока» или тока. Но применительно к электрическому диполю лапласиан скалярного потенциала сохраняется только глобально, когда в одну сторону вдоль оси z излучается положительная плотность, в обратном такая же по модулю отрицательная. Нельзя сказать, что скалярный потенциал имеет существенную величину только в ближней зоне принудительной генерации и запаздывающих потенциалов. В дальней волновой зоне его интенсивность, как и производной по времени, убывает пропорционально 1 / r вдоль оси z, то же самое касается градиента в некоторых направлениях (ρ • z / r³).

Напряжённости электрического и магнитного поля убывают в среднем с расстоянием как 1 / r, соответственно плотность энергии убывает как 1 / r². То есть, интеграл плотности энергии по всему пространству бесконечный, и элементарные диполи нельзя использовать как основу для представления полевых объектов с конечной энергией. Чем больше времени работает излучатель, тем больше энергии теряет с волнами, без ограничений по итоговой величине.

Рассуждения о том, какими могут быть компактные полевые объекты, движущиеся со скоростью света, приводятся в теме:
http://newfiz.unoforum.pro/?1-3-0-00000097-000-0-0-1665124963